EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E O CRESCIMENTO POPULACIONAL: uma comparação entre a curva de Gompertz e o modelo Logístico

Resumo

A modelagem matemática é de suma importância para o desenvolvimento da sociedade e as equações diferenciais são uma das ferramentas matemáticas utilizadas para a construção de modelos científicos. Grande parte dos avanços tecnológicos atuais se dão por conta das equações diferenciais e uma das suas aplicações é a modelagem do crescimento de populações. Sua aplicação em crescimento de populações teve início no ano de 1798 com o trabalho “An essay on the Principle of populations” do matemático inglês Thomas Robert Malthus, onde ele propôs que a taxa de crescimento de uma pequena população era proporcional ao seu tamanho. Tal modelo apresentava uma solução onde a população cresceria de maneira exponencial, o que não é condizente com a realidade, visto que há fatores - disponibilidade de alimentos, espaço, doenças, entre outros – que impossibilitam tal crescimento. Uma correção ao modelo de Malthus foi apresentada pelo matemático Pierre-François Verhulst no ano de 1838. Ele alterou a constante do modelo de Malthus, modificando-a a fim de fazer com que ela diminuísse à medida que a população crescia, subtraindo da constante um termo proporcional ao tamanho da população. Tal modelo foi nomeado por Verhulst de Modelo Logístico. Também no ano de 1838, o matemático Benjamin Gompertz apresentou um modelo onde a correção à taxa de crescimento é proporcional não ao tamanho da população, mas ao logaritmo deste tamanho. Este modelo é muito aplicado à modelagem do crescimento de tumores, sendo as soluções nomeadas curvas de Gompertz. O principal objetivo desse trabalho é apresentar o modelo Logístico e o modelo de Gompertz através de uma dedução analítica geral do comportamento das suas soluções e compará-las graficamente a fim de evidenciar as similaridades e as diferenças entre eles.